Cours 1

name: inverse
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# Inès de Courchelle
## Informatique 1
## Les booléens et les conversions

![image](../img/CY-tech.png)

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layout: false

# Aujourd'hui
## Objectifs
- Comprendre la mécanique des booléens
- Représenter un problème en logique booléennes
- Convertir des entiers et des réels dans plusieurs bases
- Réaliser des opérations sur des entiers
- Encoder les entiers signés

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# Today
## Plan

1. Algèbre de boole
2. Les bases et les converstions
3. La représentation des entiers signés
4. La représentations des réels en binaire

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# Today
## Plan

1. .under[Algèbre de boole]
2. Les bases et les converstions
3. La représentation des entiers signés
4. La représentations des réels en binaire

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# Algèbre de boole
## Définition
.otro-blockquote[
L'algèbre de Boole, ou calcul booléen, est la partie des mathématiques qui s'intéresse à une approche algébrique de la logique, vue en termes de variables, d'opérateurs et de fonctions sur les variables logiques, ce qui permet d'utiliser des techniques algébriques pour traiter les expressions à deux valeurs du calcul des propositions.]

## George Boole
.pull-left[
<img src="img/georgeBoole.jpg" width=100>
]

.pull-right[
 Inventée en 1854
]

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# Algèbre de boole
## La notation
En gros, les données ne peuvent être représentées que par 2 valeurs :
- VRAI
- FAUX

## Les opérations
ET, OU, NON, X-OU ...

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# Algèbre de boole
##  NON
NON : inversion de valeur

## Représentation

\$S = \overline{A} \$

## Table de vérité

| A | S |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |

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# Algèbre de boole
## ET
ET : Vrai si les 2 énoncés sont vrais

## Représentation

\$ S = A . B = A  \cap B = A \wedge B = A * B = AB \$

## Table de vérité

| A | B | S |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |

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# Algèbre de boole
## OU
OU : vrai si au moins un énoncé est vrai

## Représentation
\$ S = A \cup B = A \lor B = A + B \$

## Table de vérité

| A | B | S |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |

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# Algèbre de boole
## XOU
XOU : vrai si au plus un énoncé est vrai

## Représentation
\$ S = A \oplus B \$

## Table de vérité

| A | B | S |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |

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# Algèbre de boole
## Les opérations
#### Distributivité

- \$ A (B + C) = AB + AC  \$
- \$ A + (BC) = (A + B) (A + C) \$

#### Factorisation

\$ AB + BC = B (A+C) \$

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# Algèbre de boole
## Les opérations
#### Piège
on peut rajouter des expressions tant que ça ne modifie pas le résultat

#### Exemple

\$ A + B \Leftrightarrow A + B . 1  \Leftrightarrow A + B . (A + \overline{A}) \$

Formule du cours :  \$ 1 + A = 1 \$

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# Algèbre de boole
## Les opérations
#### Lois de Morgan

- \$ \overline{A . B} = \overline{A} + \overline{B} \$
- \$ \overline{A + B} = \overline{A} . \overline{B} \$

#### Commutativité
- \$ \overline{A . B} = \overline{B . A} \$
- \$ \overline{A + B} = \overline{B + A} \$

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# Algèbre de boole
## Résumé

| Propriété      | ET                    | OU                         | Propriété       | ET                                               | OU                                               |
|----------------|-----------------------|----------------------------|-----------------|--------------------------------------------------|--------------------------------------------------|
| identité       | 1.A = A               | 0 + A = A                  | null            | 0.A =0                                           | 1 + A = 1                                        |
| Associativité  | (A.B).C = A.(B.C)     | (A+B)+C = A+(B+C)          | Commutativité   | A.B=B.A                                          | A + B = B+ A                                     |
| Distributivité | A (B + C) = AB + AC   | A + (BC) = (A + B) (A + C) | idempotence     | A.A = A                                          | A + A = A                                        |
| Inversion      | \$A. \overline{A} = 0 \$ | \$ A + \overline{A} = 1 \$     | Lois de Morgane | \$ \overline{A . B} = \overline{A} + \overline{B} \$ | \$ \overline{A + B} = \overline{A} . \overline{B}\$ |

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# Algèbre de boole
## Objectifs
- Raisonner en Vrai et Faux en algorithme et programmation
- Construire les futurs conditions de nos algos
- Optimiser les algos

## Fun fact
Un club de D3 Anglaise, **Lincoln City FC**, l'a mis à l'honneur sur son maillot pour la saison 25-26
<center>
<a href="https://www.weareimps.com/news/introducing-george-boole-coded-lincolnshire" target="_blank"><img src="https://cdn.weareimps.com/sites/default/files/styles/cc_960x540/public/2025-06/george_boole_16x9.png?h=8f9cfe54&itok=SjzFCK3k" width=200>
Lincolnshire</a>
</center>

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# Today
## Plan

1. Algèbre de boole
2. .under[Les bases et les converstions]
3. La représentation des entiers signés
4. La représentations des réels en binaire

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# Réprésentation des données
## Définitions
.otro-blockquote[La manière dont les informations (nombres, textes, sons, images, etc.) sont organisées, codées et stockées dans un système informatique afin qu’elles puissent être traitées par un ordinateur.]

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# Réprésentation des données
## Les unités
- bit : information de base, il peut valoir 0 ou 1 (1 Kb = 1000 bits)
- octet (byte en anglais) : correspont à 8 bits

## Les bases
Il existe de multiples systèmes de comptage dans des bases diﬀérentes :
- base 2 : binaire
- base 8 : octal
- base 10 : décimal
- base 12 : mois de l'année
- base 16 : hexadécimal
- Base 60 : minutes, secondes
- ...

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# Les bases
## Base 10 (décimal)
- c'est notre base à nous, celle avec laquelle nous comptoms
- les chiffres vont de 0 à 9

## Exemple de décomposition
- \$ 324 = 3 \times 100 + 2 \times 10 + 4  \times 1 \$
- \$ 324 = 3 \times 10^2 + 2 \times 10^1 + 4 \times 10^0 \$

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# Les bases
## Binaire
- En base 2, les chiffres sont 0 et 1
- Tout est puissance de 2

## Valeurs des puissances de 2

| puissance         | \$2^8\$ | \$2^7\$ | \$2^6\$ | \$2^5\$ | \$2^4\$ | \$2^3\$ | \$2^2\$ | \$2^1\$ | \$2^0 \$ |
|-------------------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|--------|-----------|------------|
| valeur en base 10 | 256       | 128       | 64        | 32        | 16        | 8         | 4      | 2         | 1          |

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# Les conversions
## Base 10 vers base 2
On considère le tableau suivant :

En base 2, nous ne sommes autorisés à utiliser seulement les chiffres 0 et 1. Donc pour représenter un nombre donné nous devons le retrouver en faisant la somme des exposants.

#### Exemple : Comment écrire 12 en binaire ?
\$ (12)_{10} = (????)_2 \$

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# Les conversions
## Base 10 vers base 2
#### Exemple : Comment écrire 12 en binaire ?
\$ (12)_{10} = (1100)_2 \$

\$ 2^3 \times 1 + 2^2  \times 1 + 2^1  \times 0 +  2^0  \times 0 = 12 \$
\$  \Leftrightarrow \$
\$ 8 \times 1 + 4  \times 1 + 2  \times 0 +  1  \times 0 = 12 \$

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# Les conversions
## La méthode des divisions successives

Le principe consiste à diviser successivement par 2, le nombre à convertir jusqu'à ce que le résultat de la division soit égal à zéro.

#### Exemple

On souhaite convertir \$ (23)_{10} => (??)_2 \$

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# Les conversions
## La méthode des divisions successives

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# Les bases
## Octal
- En base 8, les chiffres vont de 0 à 7
- Tout est puissance de 8

## Valeurs des puissances de 8

| puissance         | \$ 8^4 \$ | \$ 8^3 \$ | \$ 8^2 \$ | \$8^1\$ | \$8^0\$ |
|-------------------|-------------|-------------|-------------|-----------|-----------|
| valeur en base 10 | 4096        | 512         | 64          | 8         | 1         |

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# Les conversions
## Octal to Decimal
#### Exemple
On souhaite convertir \$ (11)_{10} => (??)_8 \$

\$ 8^1  \times 1 +  8^0  \times 3 = 11 \$

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# Les bases
## Hexadécimal
- En base 16, les chiffres vont de 0 à 9 et les lettres A à F.
- Tout est puissance de 16

#### Attention

*En base 16, on écrit pas 10 mais A*

| **F** | **E** | **D** | **C** | **B** | **A** | **9** | **8** | **7** | **6** | **5** | **4** | **3** | **2** | **1** | **0** |
|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|
| *15*  | *14*  | *13*  | *12*  | *11*  | *10*  |       |       |       |       |       |       |       |       |       |       |

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# Les conversions
## Decimal to Hexadecimal
#### Exemple
On souhaite convertir \$ (25)_{10}  \$

\$ 25/16 = 1 \$ et il reste 9

Donc
\$
(19)_{16}
\$
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# Les conversions
## Octal to binary ?

**Comment convertir d'une base 8 à une base 2 ?**

**Exemple**
Nous voulons convertir $$(124)_8$$ en base 2 ?
Le chiffre 8 est trouvé est trouvé comme suit : $$8 = 2^3$$

On va donc générer un nombre à générer un nombre binaire à 3 chiffres pour chaque entier du nombre 124 !

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# Les conversions
## Octal to binary ?
<img src="img/octoToBinExemple.png" width=350>

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# Les conversions
## Hexadecimal to binary ?
**Comment convertir d'une base 16 à une base 2 ?**

**Exemple**
Nous voulons convertir $$(2D)_{16}$$ en base 2 ?
Le chiffre 16 est trouvé est trouvé comme suit : $$ 16 = 2^4 $$

On va donc générer un nombre à générer un nombre binaire à 4 chiffres pour chaque entier du nombre 2D !

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# Les conversions
## Hexadecimal to binary ?
<img src="img/hexaToBinExemple.png" width=400>

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# Today
## Plan

1. Algèbre de boole
2. Les bases et les converstions
3. .under[La représentation des entiers signés]
4. La représentations des réels en binaire

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# Les entiers signés
## Comment représenter les négatifs en binaire ?
On peut utiliser un bit pour représenter le signe :
 - 0 .leftarrow[] positif
 - 1 .leftarrow[] négatif

## 3 representations
- Signe et valeur absolue
- Complément à 1
- Complément à 2

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# Les entiers signés
## Signe et valeur absolue
On va utiliser le bit le plus à gauche pour représenter le signe :
 - 0 .leftarrow[] positif
 - 1 .leftarrow[] négatif

## Exemple sur 1 octet
**Rappel** un octet est égal à 8 bits

on souhaite représenter 86 et -86

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# Les entiers signés
## Signe et valeur absolue
.pull-left[
1. On convertit déjà 86 en binaire

\$ 86 / 2 = 43 \$ et il reste 0

\$ 43 / 2 = 21 \$ et il reste 1

\$ 21 / 2 = 10 \$ et il reste 1

\$ 10 / 2 = 5 \$ et il reste 0

\$ 5 / 2 = 2 \$ et il reste 1

\$ 2 / 2 = 1 \$ et il reste 0

\$ 1 / 2 = 0 \$ et il reste 1 (fin)
]

.pull-right[
on lit les restes de bas en haut

$$
(86)_{10} = (1010110)_2
$$
]

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# Les entiers signés
## Signe et valeur absolue
2. On code l'entier sur 1 octet soit 8 bits
**0**1010110

3. Le bit le plus à gauche va servir pour le signe

- **0**101 0110 .leftarrow[] 86
- **1**101 0110 .leftarrow[] -86

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# Les entiers signés
## Signe et valeur absolue
#### Problèmes
- 2 façons de représenter le zero
  - **0**000 0000 .arrow[] 0
  - **1**000 0000 .arrow[] 0
- Soustraction impossible

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# Les entiers signés
## Complément à 1
1. On va utiliser le bit le plus à gauche pour représenter le signe
2. On inverse tout les bits si c'est un négatif

## Exemple sur un octet
- **0**101 0110 .leftarrow[] 86
- **1**010 1001 .leftarrow[] -86

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# Les entiers signés
## Complément à 2
1. On va utiliser le bit le plus à gauche pour représenter le signe
2. On inverse tout les bits si c'est un négatif
3. on ajoute 1 si c'est un négatif

## Exemple sur un octet
- **0**101 0110 .leftarrow[] 86
- **1**010 1001 + 1 = **1**010 1010 .arrow[] -86

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# Concrètement ça sert à quoi ?
## Pourquoi on fait ça ?
- Processeurs et microcontrôleurs : les opérations des nombres négatifs sont réalisées en complément à 2
- Langage de programmation : la machine stock tout en complément à 2

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# Today
## Plan

1. Algèbre de boole
2. Les bases et les converstions
3. La représentation des entiers signés
4. .under[La représentations des réels en binaire]

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# Les réels
## Définitions
.otro-blockquote[En mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière munie d'un signe positif ou négatif, et une liste finie ou infinie de décimales.]

Un nombre à virgule :)

#### Comment représenter des réels en binaire ?
<img src="img/rappelFormatIEEE.png" width=600>

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# Les réels
## En base 10
86,42 .arrow[] \$ 8 \times 10^1 + 6 \times 10^0 , 4 \times 10^{-1} + 2 \times 10^{-2} \$
## En base 2 (c'est pareil !)
#### La partie entière
$$(86)_{10} = (1010110)_2 $$

#### La partie décimale
$$(42)_{10} = (???)_2 $$

---
# Les réels
## La partie décimale
.pull-left[
$$0,42 \times 2 = 0,84$$
$$0,84 \times 2 = 1,68$$
$$0,68 \times 2 = 1,36$$
$$0,36 \times 2 = 0,72$$
$$0,72 \times 2 = 1,44$$
$$0,44 \times 2 = 0,88$$
$$0,88 \times 2 = 1,76$$
$$0.76 \times 2 = 1,52$$
$$ ... $$
]
.pull-right[
Ici, c'est sans fin, on peut s'arrêter là et arrondir !

$$0110 1011$$
]
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# Les réels
## On assemble le tout

#### La partie entière
$$ (86)_{10} = (1010110)_2 $$

#### La partie décimale
$$ (42)_{10} = (01101011)_2 $$

#### Fusion !
$$ (86,42)_{10} = (1010110,01101011) $$

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# Les réels
## Une virgule flottante
c'est une façon de représenter un nombre réel en binaire, en utilisant la notation scientifique

## Exemple en base 10
$$ 86,42 = 8,642 \times 10^1 $$

## En gros
On déplace la virgule afin d'avoir qu'un seul chiffre avant

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# Les réels
## Norme IEEE 754
#### C'est quoi ?
- C'est la norme internationnale qui définit comment représenter et manipuler  des nombres en virgule flottante dans des ordinateurs.
- C'est un standard de tout les processeurs

#### Plusieurs types
- 32 bits (float) : simple précision
- 64 bits (double) : double précision
- ...

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# Les réels
## Norme IEEE 754
- Au début de l'informatique dans les années 70-80, chaque constructeur avait son encodage de flottants
- **Résultat** un programme codé sur une machine, ne marchait pas sur une autre machine

## Objectifs
- .under[Uniformiser] la représentation entre tout les scientifiques et constructeurs
- .under[Représenter] plus de réels possible
- .under[Contrôler] les arrondies. La norme définit comment arrondir

## Applications concretrètes
- Informatique scientifique
- Jeux vidéos
- Crypto
- ...

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# Les réels
## Norme IEEE 754 - simple précision
<img src="img/rappelFormatIEEE.png" width=700>

#### Pour transformer un réel en format IEEE, il y a 8 étapes à réaliser :
.pull-left[
- étape 1. convertir la partie entière en binaire
- étape 2 : convertir la partie décimale en binaire
- étape 3 : combiner la partie entière et décimale
- étape 4 : utiliser la notation scientifique
]
.pull-right[
- étape 5 : identifier le bit de signe
- étape 6 : transformer l'exposant de la notation scientifique
- étape 7 : convertir l'exposant en binaire
- étape 8 : assembler le signe, l'exposant et la mantisse
]

---
# Les réels
## Norme IEEE 754 - simple précision
#### Exemple
$$ (37,4)_{10} = (????)_2 $$

#### Pour transformer un réel en format IEEE, il y a 8 étapes à réaliser :
.pull-left[
- .under[étape 1. convertir la partie entière en binaire]
- étape 2 : convertir la partie décimale en binaire
- étape 3 : combiner la partie entière et décimale
- étape 4 : utiliser la notation scientifique
]
.pull-right[
- étape 5 : identifier le bit de signe
- étape 6 : transformer l'exposant de la notation scientifique
- étape 7 : convertir l'exposant en binaire
- étape 8 : assembler le signe, l'exposant et la mantisse
]

---
# Les réels
## Norme IEEE 754 - simple précision
#### étape 1 : convertir la partie entière en binaire
$$(37)_{10} = (????)_2 $$

---
# Les réels
## Norme IEEE 754 - simple précision
#### étape 2 : convertir la partie décimale en binaire
$$ (0,4)_{10} = (????)_2 $$

---
# Les réels
## Norme IEEE 754 - simple précision
#### étape 3 : combiner la partie entière et décimale
$$ (37,4)_{10} = (1 0 0 1 0 1 ,  0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 ...)_2 $$

.pull-left[
<img src="img/simpleP37.png" width=400>
]

.pull-right[
<img src="img/simpleP37dec.png" width=400>
]

---
# Les réels
## Norme IEEE 754 - simple précision
#### étape 4 : utiliser la notation scientifique
<img src="img/simpleP37etape4.png" width=500>

---
# Les réels
## Norme IEEE 754 - simple précision
#### étape 5 : identifier le bit de signe
$$ (37,4)_{10} $$

---
# Les réels
## Norme IEEE 754 - simple précision
#### étape 6 : transformer l'exposant de la notation scientifique
1. On est en simple précision donc on va jusqu’à 127.
2. L’exposant est de 5
3. 127 + 5 = 132

---
# Les réels
## Norme IEEE 754 - simple précision
#### étape 7 : convertir l'exposant en binaire

---
# Les réels
## Norme IEEE 754 - simple précision
#### étape 8 : assembler le signe, l'exposant et la mantisse
<img src="img/simpleP37etape8a.png" width=550>
<img src="img/simpleP37etape8b.png" width=550>

---
# Conclusion
## Aujourd'hui
1. Algèbre de boole
2. Les bases et les converstions
3. La représentation des entiers signées
4. La représentations des réels en binaire

#### Beaucoup de notions !
Il faut réviser en dehors des cours !